Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.8

Addiere $5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.9

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.10

Multiply element $a_{43}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.1

Multipliziere $(2 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $2 λ$ von $- 2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.2

Addiere $4 - 4 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.3

Bewege $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.4

Stelle $- 4 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.1.1

Addiere $0$ und $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0) + 0$

Schritt 1.5.5.5.1.2

Addiere $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ und $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)) + 0$

Schritt 1.5.5.5.2

Multipliziere $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4) + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0$

Schritt 1.5.5.5.4

Addiere $2 λ^{2}$ und $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 4 λ) + 0$

Schritt 1.5.5.5.5

Subtrahiere $4 λ$ von $- 8 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - 12 λ + 8 - λ^{3}) + 0$

Schritt 1.5.5.5.6

Bewege $8$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 8) + 0$

Schritt 1.5.5.5.7

Bewege $- 12 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 12 λ + 8) + 0$

Schritt 1.5.5.5.8

Stelle $6 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

Schritt 1.5.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$ .

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Schritt 1.5.6.1.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

Schritt 1.5.6.1.2

Addiere $0$ und $(3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

Schritt 1.5.6.1.3

Addiere $(3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

Schritt 1.5.6.2

Multipliziere $(3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (6 λ^{2}) + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (6 λ^{2}) + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.6

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.6.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.6.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.6.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.8

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.10

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.10.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.10.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.10.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.13

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.13.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.13.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

Schritt 1.5.6.3.15

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Schritt 1.5.6.4

Subtrahiere $6 λ^{3}$ von $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Schritt 1.5.6.5

Addiere $18 λ^{2}$ und $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 8 λ$

Schritt 1.5.6.6

Subtrahiere $8 λ$ von $- 36 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24 + λ^{4}$

Schritt 1.5.6.7

Bewege $24$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + λ^{4} + 24$

Schritt 1.5.6.8

Bewege $- 44 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} + λ^{4} - 44 λ + 24$

Schritt 1.5.6.9

Bewege $30 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + λ^{4} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$

Schritt 1.5.6.10

Stelle $- 9 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Schritt 1.7.1.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{4} - 9 \cdot 2^{3} + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 9 \cdot 2^{3} + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 - 9 \cdot 8 + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $8$ .

$16 - 72 + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.5

Subtrahiere $72$ von $16$ .

$- 56 + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 56 + 30 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.7

Mutltipliziere $30$ mit $4$ .

$- 56 + 120 - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.8

Addiere $- 56$ und $120$ .

$64 - 44 \cdot 2 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.9

Mutltipliziere $- 44$ mit $2$ .

$64 - 88 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.10

Subtrahiere $88$ von $64$ .

$- 24 + 24$

Schritt 1.7.1.1.3.11

Addiere $- 24$ und $24$ .

$0$

Schritt 1.7.1.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24}{λ - 2}$

Schritt 1.7.1.1.5

Dividiere $λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$ durch $λ - 2$ .

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Schritt 1.7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

Schritt 1.7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

Schritt 1.7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Schritt 1.7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Schritt 1.7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

Schritt 1.7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 λ^{3} + 14 λ^{2}$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 λ^{2} - 32 λ$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

Schritt 1.7.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

Schritt 1.7.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

$12 λ$

$24$

Schritt 1.7.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 λ + 24$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

$12 λ$

$24$

Schritt 1.7.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

$12 λ$

$24$

$0$

Schritt 1.7.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$

Schritt 1.7.1.1.6

Schreibe $λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 2) (λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere $λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 1.7.1.2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 7 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 7 \cdot 4 + 16 \cdot 2 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$8 - 28 + 16 \cdot 2 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.5

Subtrahiere $28$ von $8$ .

$- 20 + 16 \cdot 2 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.6

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$- 20 + 32 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.7

Addiere $- 20$ und $32$ .

$12 - 12$

Schritt 1.7.1.2.3.8

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 1.7.1.2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12}{λ - 2}$

Schritt 1.7.1.2.5

Dividiere $λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$ durch $λ - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

Schritt 1.7.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$

Schritt 1.7.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 λ^{2} + 10 λ$

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$

Schritt 1.7.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$

Schritt 1.7.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$
							+	$6 λ$	-	$12$

Schritt 1.7.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 λ - 12$

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$
							-	$6 λ$	+	$12$

Schritt 1.7.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$
							-	$6 λ$	+	$12$
										$0$

Schritt 1.7.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{2} - 5 λ + 6$

Schritt 1.7.1.2.6

Schreibe $λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 5 λ + 6)) = 0$

Schritt 1.7.1.3

Faktorisiere $λ^{2} - 5 λ + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.7.1.3.1

Faktorisiere $λ^{2} - 5 λ + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.7.1.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 1.7.1.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(λ - 2) ((λ - 2) ((λ - 3) (λ - 2))) = 0$

Schritt 1.7.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ - 3) (λ - 2)) = 0$

Schritt 1.7.1.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.7.1.4.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.7.1.4.1.1

Potenziere $λ - 2$ mit $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ - 2) (λ - 3)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.1.2

Potenziere $λ - 2$ mit $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ - 2) (λ - 3)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(λ - 2) ({(λ - 2)}^{1 + 1} (λ - 3)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(λ - 2) ({(λ - 2)}^{2} (λ - 3)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 2) {(λ - 2)}^{2} (λ - 3) = 0$

Schritt 1.7.1.5

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 1.7.1.5.1

Potenziere $λ - 2$ mit $1$ .

$(λ - 2) {(λ - 2)}^{2} (λ - 3) = 0$

Schritt 1.7.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(λ - 2)}^{1 + 2} (λ - 3) = 0$

Schritt 1.7.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(λ - 2)}^{3} (λ - 3) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze ${(λ - 2)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.1

Setze ${(λ - 2)}^{3}$ gleich $0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

Schritt 1.7.3.2

Löse ${(λ - 2)}^{3} = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.2.1

Setze $λ - 2$ gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

Schritt 1.7.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 2$

Schritt 1.7.4

Setze $λ - 3$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $λ - 3$ gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(λ - 2)}^{3} (λ - 3) = 0$ wahr machen.

$λ = 2, 3$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 2$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.14

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 2 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.8

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.10

Addiere $5$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.11

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.12

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.14

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.15

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.16

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - 0 & 1 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + \frac{1}{5} x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{x_{3}}{5} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- 3$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.14

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.15

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 2 - 3 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.10

Addiere $5$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.11

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.12

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.14

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.15

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.16

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.7

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.7.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 0 & - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.7.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$